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Theorem angmndaddeu5

Description: There exists a unique point s satisfying the conditions of angle addition. Case where one angle is a zero angle, and the other angle is a straight angle. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026)

Ref Expression
Hypotheses angmndadd.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
angmndadd.a ⊢ 𝐴 = { 𝑑 ∈ ( 𝑃 ↑m ( 0 ..^ 3 ) ) ∣ ( ( 𝑑 ‘ 0 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑑 ‘ 1 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 2 ) ) }
angmndadd.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
angmndadd.d ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
angmndadd.c ⊢ ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 )
angmndadd.l ⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
angmndadd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
angmndaddov.u ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
angmndaddov.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
angmndaddeu.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉 )
angmndaddeu.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊 )
angmndaddeu.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
angmndaddeu.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍 )
angmndaddeu5.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑍 )
angmndaddeu5.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑊 ) )
Assertion angmndaddeu5 ( 𝜑 → ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 angmndadd.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 angmndadd.a ⊢ 𝐴 = { 𝑑 ∈ ( 𝑃 ↑m ( 0 ..^ 3 ) ) ∣ ( ( 𝑑 ‘ 0 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 1 ) ∧ ( 𝑑 ‘ 1 ) ≠ ( 𝑑 ‘ 2 ) ) }
3 angmndadd.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4 angmndadd.d ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
5 angmndadd.c ⊢ ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 )
6 angmndadd.l ⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
7 angmndadd.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
8 angmndaddov.u ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃 )
9 angmndaddov.v ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃 )
10 angmndaddov.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃 )
11 angmndaddov.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
12 angmndaddov.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
13 angmndaddov.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
14 angmndaddeu.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉 )
15 angmndaddeu.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊 )
16 angmndaddeu.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌 )
17 angmndaddeu.4 ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍 )
18 angmndaddeu5.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ( ( hlG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑌 ) 𝑍 )
19 angmndaddeu5.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑊 ) )
20 17 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌 )
21 1 4 3 7 13 12 9 8 20 tgsegconeu ⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
22 5 eqcomi ⊢ ( cgrA ‘ 𝐺 ) = ∼
23 22 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( cgrA ‘ 𝐺 ) = ∼ )
24 7 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
25 13 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
26 12 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
27 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑠 ∈ 𝑃 )
28 8 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑈 ∈ 𝑃 )
29 9 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑉 ∈ 𝑃 )
30 10 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑊 ∈ 𝑃 )
31 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) )
32 19 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑊 ) )
33 20 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ≠ 𝑌 )
34 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) )
35 34 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( 𝑉 − 𝑈 ) = ( 𝑌 − 𝑠 ) )
36 14 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈 )
37 36 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑉 ≠ 𝑈 )
38 1 4 3 24 29 28 26 27 35 37 tgcgrneq ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑌 ≠ 𝑠 )
39 38 necomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑠 ≠ 𝑌 )
40 14 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑈 ≠ 𝑉 )
41 15 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑉 )
42 41 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑊 ≠ 𝑉 )
43 1 3 4 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 39 40 42 flatcgra ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ )
44 23 43 breqdi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ )
45 44 34 jca ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
46 45 anasss ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) → ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
47 7 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
48 8 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑈 ∈ 𝑃 )
49 9 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑉 ∈ 𝑃 )
50 10 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑊 ∈ 𝑃 )
51 13 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑍 ∈ 𝑃 )
52 12 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
53 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑠 ∈ 𝑃 )
54 eqid ⊢ ( hlG ‘ 𝐺 ) = ( hlG ‘ 𝐺 )
55 5 a1i ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ∼ = ( cgrA ‘ 𝐺 ) )
56 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ )
57 55 56 breqdi ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ )
58 1 3 47 54 51 52 53 48 49 50 57 cgracom ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ )
59 19 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑉 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑊 ) )
60 1 3 4 47 48 49 50 51 52 53 58 59 cgrabtwn ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) )
61 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) )
62 60 61 jca ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) → ( 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
63 62 anasss ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) → ( 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )
64 46 63 impbida ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ↔ ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) )
65 64 reubidva ⊢ ( 𝜑 → ( ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑠 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ↔ ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) ) )
66 21 65 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃! 𝑠 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝑍 𝑌 𝑠 ”⟩ ∼ ⟨“ 𝑈 𝑉 𝑊 ”⟩ ∧ ( 𝑌 − 𝑠 ) = ( 𝑉 − 𝑈 ) ) )