Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tgss |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( topGen ‘ 𝐵 ) ⊆ ( topGen ‘ 𝐽 ) ) |
2 |
|
tgtop |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( topGen ‘ 𝐽 ) = 𝐽 ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( topGen ‘ 𝐽 ) = 𝐽 ) |
4 |
1 3
|
sseqtrd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( topGen ‘ 𝐵 ) ⊆ 𝐽 ) |
5 |
|
eqss |
⊢ ( ( topGen ‘ 𝐵 ) = 𝐽 ↔ ( ( topGen ‘ 𝐵 ) ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
6 |
5
|
baib |
⊢ ( ( topGen ‘ 𝐵 ) ⊆ 𝐽 → ( ( topGen ‘ 𝐵 ) = 𝐽 ↔ 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
7 |
4 6
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( ( topGen ‘ 𝐵 ) = 𝐽 ↔ 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
8 |
|
dfss3 |
⊢ ( 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) |
9 |
7 8
|
bitrdi |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( ( topGen ‘ 𝐵 ) = 𝐽 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) ) |
10 |
|
ssexg |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ Top ) → 𝐵 ∈ V ) |
11 |
10
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → 𝐵 ∈ V ) |
12 |
|
eltg3 |
⊢ ( 𝐵 ∈ V → ( 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦 ) ) ) |
13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦 ) ) ) |
14 |
13
|
ralbidv |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦 ) ) ) |
15 |
9 14
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( ( topGen ‘ 𝐵 ) = 𝐽 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∃ 𝑦 ( 𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦 ) ) ) |