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Theorem btwnintr

Description: Inner transitivity law for betweenness. Left-hand side of Theorem 3.5 of Schwabhauser p. 30. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013)

Ref Expression
Assertion btwnintr ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp1 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
2 simp2l ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
3 simp2r ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
4 simp3r ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
5 simp3l ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
6 axpasch ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐵 ⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ) ) )
7 1 2 3 4 3 5 6 syl132anc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐵 ⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ) ) )
8 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
9 simpr ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
10 simpl2r ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
11 axbtwnid ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐵 ⟩ → 𝑥 = 𝐵 ) )
12 8 9 10 11 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐵 ⟩ → 𝑥 = 𝐵 ) )
13 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ) )
14 13 biimpa ⊢ ( ( 𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑥 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ )
15 simpl3l ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
16 simpl2l ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
17 btwncom ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
18 8 10 15 16 17 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
19 14 18 syl5ib ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑥 = 𝐵 ∧ 𝑥 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
20 12 19 syland ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐵 ⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
21 20 rexlimdva ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐵 ⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
22 7 21 syld ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )