Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cbvopab1g.1 |
⊢ Ⅎ 𝑧 𝜑 |
2 |
|
cbvopab1g.2 |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝜓 |
3 |
|
cbvopab1g.3 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) ) |
4 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑣 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) |
5 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 |
6 |
|
nfs1v |
⊢ Ⅎ 𝑥 [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 |
7 |
5 6
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) |
8 |
7
|
nfex |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) |
9 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ) |
10 |
9
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ) ) |
11 |
|
sbequ12 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝜑 ↔ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) ) |
12 |
10 11
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) ) ) |
13 |
12
|
exbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) ) ) |
14 |
4 8 13
|
cbvexv1 |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑣 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) ) |
15 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑧 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 |
16 |
1
|
nfsb |
⊢ Ⅎ 𝑧 [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 |
17 |
15 16
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) |
18 |
17
|
nfex |
⊢ Ⅎ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) |
19 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑣 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) |
20 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → 〈 𝑣 , 𝑦 〉 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ) |
21 |
20
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ↔ 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ) ) |
22 |
|
sbequ |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ↔ [ 𝑧 / 𝑥 ] 𝜑 ) ) |
23 |
2 3
|
sbie |
⊢ ( [ 𝑧 / 𝑥 ] 𝜑 ↔ 𝜓 ) |
24 |
22 23
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ↔ 𝜓 ) ) |
25 |
21 24
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) ↔ ( 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) ) ) |
26 |
25
|
exbidv |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) ) ) |
27 |
18 19 26
|
cbvexv1 |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑣 , 𝑦 〉 ∧ [ 𝑣 / 𝑥 ] 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) ) |
28 |
14 27
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) ) |
29 |
28
|
abbii |
⊢ { 𝑤 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) } |
30 |
|
df-opab |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } |
31 |
|
df-opab |
⊢ { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) } |
32 |
29 30 31
|
3eqtr4i |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } = { 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } |