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Theorem cdlemg28b

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116. Second equality of the equation of line 14 on p. 117. Note that -. z .<_ W is redundant here (but simplifies cdlemg28 .) (Contributed by NM, 29-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
cdlemg33.o 𝑂 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐺 ) ) )
Assertion cdlemg28b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑧 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ) 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
9 cdlemg33.o 𝑂 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐺 ) ) )
10 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
11 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) )
12 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) )
13 simp23l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝐹𝑇 )
14 simp23r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
15 simp1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
16 simp22l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝑧𝐴 )
17 simp21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) )
18 simp311 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝑧𝑁 )
19 13 18 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝑧𝑁 ) )
20 simp32l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
21 simp313 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) )
22 simp33l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 )
23 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg27b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝑧𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅𝐹 ) ( 𝑄 𝑧 ) )
24 15 16 17 19 20 21 22 23 syl133anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ¬ ( 𝑅𝐹 ) ( 𝑄 𝑧 ) )
25 simp312 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝑧𝑂 )
26 14 25 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐺𝑇𝑧𝑂 ) )
27 simp32r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
28 simp33r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 )
29 1 2 3 4 5 6 7 9 cdlemg27b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑧𝑂 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅𝐺 ) ( 𝑄 𝑧 ) )
30 15 16 17 26 27 21 28 29 syl133anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ¬ ( 𝑅𝐺 ) ( 𝑄 𝑧 ) )
31 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg26zz ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ 𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇 ∧ ¬ ( 𝑅𝐹 ) ( 𝑄 𝑧 ) ∧ ¬ ( 𝑅𝐺 ) ( 𝑄 𝑧 ) ) ) → ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑧 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ) 𝑊 ) )
32 10 11 12 13 14 24 30 31 syl133anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑧 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑧 ) ) ) 𝑊 ) )