Theorem cdlemg28

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116. Chain the equalities of line 14 on p. 117. TODO: rearrange hypotheses in the order of cdlemg29 (and maybe leading up to this too)? (Contributed by NM, 29-May-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemg12.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemg31.n	⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
	cdlemg33.o	⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
Assertion	cdlemg28	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg12.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdlemg12.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdlemg12.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7		cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemg31.n	⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
9		cdlemg33.o	⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
10		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11		simp12	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
12		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) )
13		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) )
14		simp23l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
15		simp23r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
16		simp32	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
17		simp313	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
18		simp33	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) )
19	1 2 3 4 5 6 7	cdlemg28a	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑧 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
20	10 11 12 13 14 15 16 17 18 19	syl333anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑧 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
21	1 2 3 4 5 6 7 8 9	cdlemg28b	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑧 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
22	20 21	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )