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Theorem cdlemg29

Description: Eliminate ( FP ) =/= P and ( GP ) =/= P from cdlemg28 . TODO: would it be better to do this later? (Contributed by NM, 29-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
cdlemg33.o 𝑂 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐺 ) ) )
Assertion cdlemg29 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
9 cdlemg33.o 𝑂 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐺 ) ) )
10 simpl11 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
11 simpl12 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
12 simpl13 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) )
13 simp23l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝐹𝑇 )
14 13 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐹𝑇 )
15 simp23r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝐺𝑇 )
16 15 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐺𝑇 )
17 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 )
18 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg14f ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
19 10 11 12 14 16 17 18 syl123anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
20 simpl11 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
21 simpl12 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
22 simpl13 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) )
23 13 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐹𝑇 )
24 15 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐺𝑇 )
25 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 )
26 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg14g ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
27 20 21 22 23 24 25 26 syl123anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺𝑃 ) = 𝑃 ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
28 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
29 simpl2 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) )
30 simp31l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝑧𝑁 )
31 30 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧𝑁 )
32 simp31r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝑧𝑂 )
33 32 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧𝑂 )
34 simpl32 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) )
35 31 33 34 3jca ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) )
36 simpl33 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) )
37 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg28 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
39 28 29 35 36 37 38 syl113anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
40 19 27 39 pm2.61da2ne ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑂 ) ∧ 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )