Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
cdlemg31.n |
|- N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) |
9 |
|
cdlemg33.o |
|- O = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` G ) ) ) |
10 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
|
simpl12 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
12 |
|
simpl13 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
13 |
|
simp23l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) -> F e. T ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> F e. T ) |
15 |
|
simp23r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) -> G e. T ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> G e. T ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` P ) = P ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemg14f |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |
19 |
10 11 12 14 16 17 18
|
syl123anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |
20 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( G ` P ) = P ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
21 |
|
simpl12 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( G ` P ) = P ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
22 |
|
simpl13 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( G ` P ) = P ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
23 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( G ` P ) = P ) -> F e. T ) |
24 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( G ` P ) = P ) -> G e. T ) |
25 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( G ` P ) = P ) -> ( G ` P ) = P ) |
26 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemg14g |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( G ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |
27 |
20 21 22 23 24 25 26
|
syl123anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( G ` P ) = P ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |
28 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
29 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) ) |
30 |
|
simp31l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) -> z =/= N ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> z =/= N ) |
32 |
|
simp31r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) -> z =/= O ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> z =/= O ) |
34 |
|
simpl32 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> z .<_ ( P .\/ v ) ) |
35 |
31 33 34
|
3jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) |
36 |
|
simpl33 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) |
37 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) |
38 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cdlemg28 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |
39 |
28 29 35 36 37 38
|
syl113anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) /\ ( ( F ` P ) =/= P /\ ( G ` P ) =/= P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |
40 |
19 27 39
|
pm2.61da2ne |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) /\ ( v =/= ( R ` F ) /\ v =/= ( R ` G ) ) ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |