Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
9 |
|
simp32 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> G e. T ) |
10 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
11 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
12 |
1 2 3 4 5 6
|
ltrnu |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) |
13 |
8 9 10 11 12
|
syl211anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) |
14 |
|
simp31 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> F e. T ) |
15 |
1 4 5 6
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) |
16 |
8 9 10 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) |
17 |
|
simp33 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` P ) = P ) |
18 |
1 4 5 6
|
ltrnateq |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = ( G ` P ) ) |
19 |
8 14 10 16 17 18
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = ( G ` P ) ) |
20 |
19
|
oveq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) ) |
21 |
20
|
oveq1d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) |
22 |
1 4 5 6
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) |
23 |
8 9 11 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) |
24 |
1 4 5 6
|
ltrnateq |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( G ` Q ) ) |
25 |
8 14 10 23 17 24
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( G ` Q ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) |
27 |
26
|
oveq1d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) |
28 |
13 21 27
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) ) |