Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemg33a

Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 29-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg31.n 
|- N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
cdlemg33.o 
|- O = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` G ) ) )
Assertion cdlemg33a 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 cdlemg31.n 
 |-  N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
9 cdlemg33.o 
 |-  O = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` G ) ) )
10 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
12 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
13 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N e. A )
14 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( v e. A /\ v .<_ W ) )
15 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> F e. T )
16 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> v =/= ( R ` F ) )
17 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( v e. A /\ v .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ v =/= ( R ` F ) /\ N e. A ) ) -> -. N .<_ W )
18 10 11 12 14 15 16 13 17 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. N .<_ W )
19 13 18 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( N e. A /\ -. N .<_ W ) )
20 simp31l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q )
21 simp22r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> O e. A )
22 simp31r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N =/= O )
23 21 22 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( O e. A /\ N =/= O ) )
24 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) )
25 1 2 4 5 4atex3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( O e. A /\ N =/= O ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( N .\/ O ) ) ) )
26 10 11 12 19 20 23 24 25 syl133anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( N .\/ O ) ) ) )
27 idd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z =/= N -> z =/= N ) )
28 idd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z =/= O -> z =/= O ) )
29 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P e. A )
30 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. A )
31 simp21l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> v e. A )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> N .<_ ( P .\/ v ) )
33 10 29 30 31 15 32 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N .<_ ( P .\/ v ) )
34 simp23r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G e. T )
35 1 2 3 4 5 6 7 9 cdlemg31a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ G e. T ) ) -> O .<_ ( P .\/ v ) )
36 10 29 30 31 34 35 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> O .<_ ( P .\/ v ) )
37 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL )
38 37 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. Lat )
39 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
40 39 4 atbase 
 |-  ( N e. A -> N e. ( Base ` K ) )
41 13 40 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N e. ( Base ` K ) )
42 39 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ v e. A ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) )
43 37 29 31 42 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) )
44 39 4 atbase 
 |-  ( O e. A -> O e. ( Base ` K ) )
45 21 44 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> O e. ( Base ` K ) )
46 39 1 2 latjlej12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( N e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) /\ ( O e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( N .<_ ( P .\/ v ) /\ O .<_ ( P .\/ v ) ) -> ( N .\/ O ) .<_ ( ( P .\/ v ) .\/ ( P .\/ v ) ) ) )
47 38 41 43 45 43 46 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( N .<_ ( P .\/ v ) /\ O .<_ ( P .\/ v ) ) -> ( N .\/ O ) .<_ ( ( P .\/ v ) .\/ ( P .\/ v ) ) ) )
48 33 36 47 mp2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( N .\/ O ) .<_ ( ( P .\/ v ) .\/ ( P .\/ v ) ) )
49 39 2 latjidm 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ v ) .\/ ( P .\/ v ) ) = ( P .\/ v ) )
50 38 43 49 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ v ) .\/ ( P .\/ v ) ) = ( P .\/ v ) )
51 48 50 breqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( N .\/ O ) .<_ ( P .\/ v ) )
52 51 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( N .\/ O ) .<_ ( P .\/ v ) )
53 38 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> K e. Lat )
54 39 4 atbase 
 |-  ( z e. A -> z e. ( Base ` K ) )
55 54 adantl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( Base ` K ) )
56 39 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ N e. A /\ O e. A ) -> ( N .\/ O ) e. ( Base ` K ) )
57 37 13 21 56 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( N .\/ O ) e. ( Base ` K ) )
58 57 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( N .\/ O ) e. ( Base ` K ) )
59 43 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) )
60 39 1 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ ( N .\/ O ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .<_ ( N .\/ O ) /\ ( N .\/ O ) .<_ ( P .\/ v ) ) -> z .<_ ( P .\/ v ) ) )
61 53 55 58 59 60 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z .<_ ( N .\/ O ) /\ ( N .\/ O ) .<_ ( P .\/ v ) ) -> z .<_ ( P .\/ v ) ) )
62 52 61 mpan2d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z .<_ ( N .\/ O ) -> z .<_ ( P .\/ v ) ) )
63 27 28 62 3anim123d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( N .\/ O ) ) -> ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
64 63 anim2d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( N .\/ O ) ) ) -> ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) )
65 64 reximdva 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( N .\/ O ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) )
66 26 65 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )