Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
cdlemg31.n |
|- N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) |
9 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> K e. HL ) |
10 |
9
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> K e. Lat ) |
11 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> P e. A ) |
12 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> v e. A ) |
13 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
14 |
13 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ v e. A ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
15 |
9 11 12 14
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
16 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> Q e. A ) |
17 |
13 4
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
19 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
20 |
|
simp3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> F e. T ) |
21 |
13 5 6 7
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) |
22 |
19 20 21
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) |
23 |
13 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) ) |
24 |
10 18 22 23
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) ) |
25 |
13 1 3
|
latmle1 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) .<_ ( P .\/ v ) ) |
26 |
10 15 24 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) .<_ ( P .\/ v ) ) |
27 |
8 26
|
eqbrtrid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> N .<_ ( P .\/ v ) ) |