Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemg33b

Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg31.n 
|- N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
cdlemg33.o 
|- O = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` G ) ) )
Assertion cdlemg33b 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 cdlemg31.n 
 |-  N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
9 cdlemg33.o 
 |-  O = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` G ) ) )
10 df-3an 
 |-  ( ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) )
11 neeq2 
 |-  ( N = O -> ( z =/= N <-> z =/= O ) )
12 11 anbi2d 
 |-  ( N = O -> ( ( z =/= N /\ z =/= N ) <-> ( z =/= N /\ z =/= O ) ) )
13 anidm 
 |-  ( ( z =/= N /\ z =/= N ) <-> z =/= N )
14 12 13 bitr3di 
 |-  ( N = O -> ( ( z =/= N /\ z =/= O ) <-> z =/= N ) )
15 14 anbi1d 
 |-  ( N = O -> ( ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
16 10 15 bitrid 
 |-  ( N = O -> ( ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
17 16 anbi2d 
 |-  ( N = O -> ( ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) <-> ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) )
18 17 rexbidv 
 |-  ( N = O -> ( E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) <-> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) )
19 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
20 simpl2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) )
21 simpl31 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> P =/= Q )
22 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> N =/= O )
23 21 22 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> ( P =/= Q /\ N =/= O ) )
24 simpl32 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> v =/= ( R ` F ) )
25 simpl33 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) )
26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg33a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ N =/= O ) /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
27 19 20 23 24 25 26 syl113anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ N =/= O ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
28 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( v e. A /\ v .<_ W ) )
29 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N e. A )
30 simp23l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> F e. T )
31 28 29 30 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg33b0 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
33 31 32 syld3an2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
34 18 27 33 pm2.61ne 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O e. A ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )