Metamath Proof Explorer


Theorem cdlemg33c

Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg31.n
|- N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
cdlemg33.o
|- O = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` G ) ) )
Assertion cdlemg33c
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 cdlemg31.n
 |-  N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
9 cdlemg33.o
 |-  O = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` G ) ) )
10 simp1
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
11 simp21
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( v e. A /\ v .<_ W ) )
12 simp22l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N e. A )
13 simp23l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> F e. T )
14 simp3
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg33b0
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
16 10 11 12 13 14 15 syl131anc
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
17 simp11l
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL )
18 17 adantr
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> K e. HL )
19 hlatl
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
20 18 19 syl
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> K e. AtLat )
21 eqid
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
22 21 4 atn0
 |-  ( ( K e. AtLat /\ z e. A ) -> z =/= ( 0. ` K ) )
23 20 22 sylancom
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> z =/= ( 0. ` K ) )
24 simp22r
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> O = ( 0. ` K ) )
25 24 adantr
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> O = ( 0. ` K ) )
26 23 25 neeqtrrd
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> z =/= O )
27 26 biantrud
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z =/= N <-> ( z =/= N /\ z =/= O ) ) )
28 27 anbi1d
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
29 df-3an
 |-  ( ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( ( z =/= N /\ z =/= O ) /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) )
30 28 29 bitr4di
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )
31 30 anbi2d
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) <-> ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) )
32 31 rexbidva
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) <-> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) )
33 16 32 mpbid
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ ( N e. A /\ O = ( 0. ` K ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= O /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) )