Theorem cdlemg33c

Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemg12.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemg31.n	⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
	cdlemg33.o	⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
Assertion	cdlemg33c	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg12.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdlemg12.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdlemg12.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7		cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemg31.n	⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
9		cdlemg33.o	⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
10		simp1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) )
11		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) )
12		simp22l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐴 )
13		simp23l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
14		simp3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) )
15	1 2 3 4 5 6 7 8	cdlemg33b0	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
16	10 11 12 13 14 15	syl131anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
17		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
18	17	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
19		hlatl	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
20	18 19	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ AtLat )
21		eqid	⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
22	21 4	atn0	⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
23	20 22	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
24		simp22r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
25	24	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
26	23 25	neeqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ≠ 𝑂 )
27	26	biantrud	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≠ 𝑁 ↔ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ) )
28	27	anbi1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
29		df-3an	⊢ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
30	28 29	bitr4di	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )
31	30	anbi2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ↔ ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) )
32	31	rexbidva	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) )
33	16 32	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) )