Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
|
cdlemg31.n |
⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) |
9 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
10 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) |
11 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) |
12 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐴 ) |
13 |
|
simp21l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 ) |
14 |
|
simp21r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ≤ 𝑊 ) |
15 |
13 14
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) |
16 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 ) |
17 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemg31d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) |
19 |
9 10 11 15 16 17 12 18
|
syl133anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) |
20 |
12 19
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) ) |
21 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
22 |
|
nbrne2 |
⊢ ( ( 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) → 𝑣 ≠ 𝑁 ) |
23 |
22
|
necomd |
⊢ ( ( 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) → 𝑁 ≠ 𝑣 ) |
24 |
14 19 23
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ≠ 𝑣 ) |
25 |
13 24
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣 ) ) |
26 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) |
27 |
1 2 4 5
|
4atex3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ≠ 𝑣 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) ) ) |
28 |
9 10 11 20 21 25 26 27
|
syl133anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) ) ) |
29 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) ) |
30 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ) → 𝑧 ≠ 𝑁 ) |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ) → 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) |
32 |
|
simp12l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
33 |
|
simp13l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
34 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemg31a |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) |
35 |
9 32 33 13 16 34
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) |
36 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
37 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) |
38 |
36 32 13 37
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) |
39 |
36
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
40 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
41 |
40 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑁 ∈ 𝐴 → 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
42 |
12 41
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
43 |
40 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
44 |
13 43
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
45 |
40 2 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
46 |
36 32 13 45
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
47 |
40 1 2
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) |
48 |
39 42 44 46 47
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) |
49 |
35 38 48
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) |
51 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
52 |
40 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
53 |
52
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
54 |
40 2 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
55 |
36 12 13 54
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
56 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
57 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
58 |
40 1
|
lattr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) |
59 |
51 53 56 57 58
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) |
60 |
50 59
|
mpan2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) |
61 |
31 60
|
anim12d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) |
62 |
29 61
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) |
63 |
62
|
anim2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) ) |
64 |
63
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reximdva |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑁 ∨ 𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) ) |
65 |
28 64
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mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑟 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ) ) |