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Theorem cdlemg33b0

Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
Assertion cdlemg33b0 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
9 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
10 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
11 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) )
12 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁𝐴 )
13 simp21l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣𝐴 )
14 simp21r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 𝑊 )
15 13 14 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) )
16 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝐹𝑇 )
17 simp32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑁𝐴 ) ) → ¬ 𝑁 𝑊 )
19 9 10 11 15 16 17 12 18 syl133anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ¬ 𝑁 𝑊 )
20 12 19 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊 ) )
21 simp31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃𝑄 )
22 nbrne2 ( ( 𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 𝑊 ) → 𝑣𝑁 )
23 22 necomd ( ( 𝑣 𝑊 ∧ ¬ 𝑁 𝑊 ) → 𝑁𝑣 )
24 14 19 23 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁𝑣 )
25 13 24 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑣𝐴𝑁𝑣 ) )
26 simp33 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) )
27 1 2 4 5 4atex3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ∧ ( 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑣𝐴𝑁𝑣 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) ) )
28 9 10 11 20 21 25 26 27 syl133anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) ) )
29 df-3an ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑣 ) ∧ 𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) )
30 simpl ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑣 ) → 𝑧𝑁 )
31 30 a1i ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑣 ) → 𝑧𝑁 ) )
32 simp12l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑃𝐴 )
33 simp13l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑄𝐴 )
34 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝐹𝑇 ) ) → 𝑁 ( 𝑃 𝑣 ) )
35 9 32 33 13 16 34 syl122anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ( 𝑃 𝑣 ) )
36 simp11l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
37 1 2 4 hlatlej2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴 ) → 𝑣 ( 𝑃 𝑣 ) )
38 36 32 13 37 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ( 𝑃 𝑣 ) )
39 36 hllatd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
40 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
41 40 4 atbase ( 𝑁𝐴𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 12 41 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 40 4 atbase ( 𝑣𝐴𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 13 43 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 40 2 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴 ) → ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 36 32 13 45 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 40 1 2 latjle12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑁 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑣 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑁 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ 𝑣 ( 𝑃 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑁 𝑣 ) ( 𝑃 𝑣 ) ) )
48 39 42 44 46 47 syl13anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 ( 𝑃 𝑣 ) ∧ 𝑣 ( 𝑃 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑁 𝑣 ) ( 𝑃 𝑣 ) ) )
49 35 38 48 mpbi2and ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 𝑣 ) ( 𝑃 𝑣 ) )
50 49 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( 𝑁 𝑣 ) ( 𝑃 𝑣 ) )
51 39 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → 𝐾 ∈ Lat )
52 40 4 atbase ( 𝑧𝐴𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
53 52 adantl ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
54 40 2 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑁𝐴𝑣𝐴 ) → ( 𝑁 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55 36 12 13 54 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
56 55 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( 𝑁 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
57 46 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
58 40 1 lattr ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑁 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ∧ ( 𝑁 𝑣 ) ( 𝑃 𝑣 ) ) → 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) )
59 51 53 56 57 58 syl13anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( ( 𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ∧ ( 𝑁 𝑣 ) ( 𝑃 𝑣 ) ) → 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) )
60 50 59 mpan2d ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( 𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) → 𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) )
61 31 60 anim12d ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑣 ) ∧ 𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) → ( 𝑧𝑁𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
62 29 61 syl5bi ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( ( 𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) → ( 𝑧𝑁𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
63 62 anim2d ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) ) → ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) ) )
64 63 reximdva ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑣𝑧 ( 𝑁 𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) ) )
65 28 64 mpd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ 𝑁𝐴𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )