Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
cdlemg31.n |
|- N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) |
9 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
10 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
11 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
12 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N e. A ) |
13 |
|
simp21l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> v e. A ) |
14 |
|
simp21r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> v .<_ W ) |
15 |
13 14
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( v e. A /\ v .<_ W ) ) |
16 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> F e. T ) |
17 |
|
simp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> v =/= ( R ` F ) ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemg31d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( v e. A /\ v .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ v =/= ( R ` F ) /\ N e. A ) ) -> -. N .<_ W ) |
19 |
9 10 11 15 16 17 12 18
|
syl133anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. N .<_ W ) |
20 |
12 19
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) |
21 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q ) |
22 |
|
nbrne2 |
|- ( ( v .<_ W /\ -. N .<_ W ) -> v =/= N ) |
23 |
22
|
necomd |
|- ( ( v .<_ W /\ -. N .<_ W ) -> N =/= v ) |
24 |
14 19 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N =/= v ) |
25 |
13 24
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( v e. A /\ N =/= v ) ) |
26 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) |
27 |
1 2 4 5
|
4atex3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( N e. A /\ -. N .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( v e. A /\ N =/= v ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= v /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) ) ) |
28 |
9 10 11 20 21 25 26 27
|
syl133anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= v /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) ) ) |
29 |
|
df-3an |
|- ( ( z =/= N /\ z =/= v /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) <-> ( ( z =/= N /\ z =/= v ) /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) ) |
30 |
|
simpl |
|- ( ( z =/= N /\ z =/= v ) -> z =/= N ) |
31 |
30
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z =/= N /\ z =/= v ) -> z =/= N ) ) |
32 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P e. A ) |
33 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. A ) |
34 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemg31a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> N .<_ ( P .\/ v ) ) |
35 |
9 32 33 13 16 34
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N .<_ ( P .\/ v ) ) |
36 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL ) |
37 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ v e. A ) -> v .<_ ( P .\/ v ) ) |
38 |
36 32 13 37
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> v .<_ ( P .\/ v ) ) |
39 |
36
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. Lat ) |
40 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
41 |
40 4
|
atbase |
|- ( N e. A -> N e. ( Base ` K ) ) |
42 |
12 41
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> N e. ( Base ` K ) ) |
43 |
40 4
|
atbase |
|- ( v e. A -> v e. ( Base ` K ) ) |
44 |
13 43
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> v e. ( Base ` K ) ) |
45 |
40 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ v e. A ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
46 |
36 32 13 45
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
47 |
40 1 2
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( N e. ( Base ` K ) /\ v e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( N .<_ ( P .\/ v ) /\ v .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( N .\/ v ) .<_ ( P .\/ v ) ) ) |
48 |
39 42 44 46 47
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( N .<_ ( P .\/ v ) /\ v .<_ ( P .\/ v ) ) <-> ( N .\/ v ) .<_ ( P .\/ v ) ) ) |
49 |
35 38 48
|
mpbi2and |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( N .\/ v ) .<_ ( P .\/ v ) ) |
50 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( N .\/ v ) .<_ ( P .\/ v ) ) |
51 |
39
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> K e. Lat ) |
52 |
40 4
|
atbase |
|- ( z e. A -> z e. ( Base ` K ) ) |
53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ( Base ` K ) ) |
54 |
40 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ N e. A /\ v e. A ) -> ( N .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
55 |
36 12 13 54
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( N .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
56 |
55
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( N .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
57 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) |
58 |
40 1
|
lattr |
|- ( ( K e. Lat /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ ( N .\/ v ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .<_ ( N .\/ v ) /\ ( N .\/ v ) .<_ ( P .\/ v ) ) -> z .<_ ( P .\/ v ) ) ) |
59 |
51 53 56 57 58
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z .<_ ( N .\/ v ) /\ ( N .\/ v ) .<_ ( P .\/ v ) ) -> z .<_ ( P .\/ v ) ) ) |
60 |
50 59
|
mpan2d |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z .<_ ( N .\/ v ) -> z .<_ ( P .\/ v ) ) ) |
61 |
31 60
|
anim12d |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( z =/= N /\ z =/= v ) /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) -> ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) |
62 |
29 61
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( z =/= N /\ z =/= v /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) -> ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) |
63 |
62
|
anim2d |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= v /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) ) -> ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) ) |
64 |
63
|
reximdva |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z =/= v /\ z .<_ ( N .\/ v ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) ) |
65 |
28 64
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( v e. A /\ v .<_ W ) /\ N e. A /\ F e. T ) /\ ( P =/= Q /\ v =/= ( R ` F ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= N /\ z .<_ ( P .\/ v ) ) ) ) |