Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
|
cdlemg31.n |
⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) |
9 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
10 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) |
11 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) |
12 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) |
13 |
|
simp23l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 ) |
14 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) |
15 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemg31b0a |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) |
16 |
9 10 11 12 13 14 15
|
syl132anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) |
17 |
|
simp23r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 ) |
19 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
21 |
|
hlatl |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ AtLat ) |
23 |
|
simpl21 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
24 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → 𝑁 ∈ 𝐴 ) |
25 |
1 4
|
atcmp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁 ) ) |
26 |
22 23 24 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 = 𝑁 ) ) |
27 |
26
|
necon3bbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) |
28 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
29 |
28 21
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ AtLat ) |
30 |
|
simpl21 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
31 |
|
eqid |
⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) |
32 |
1 31 4
|
atnle0 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
33 |
29 30 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
34 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
35 |
34
|
breq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≤ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) |
36 |
33 35
|
mtbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ) |
37 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 ) |
38 |
36 37
|
2thd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) |
39 |
27 38
|
jaodan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) |
40 |
18 39
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ) |
41 |
16 40
|
mpdan |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑁 ) |
42 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) |
43 |
19
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
44 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
45 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
46 |
45 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
47 |
44 46
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
48 |
|
simp12l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
49 |
|
simp22l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 ) |
50 |
45 2 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
51 |
19 48 49 50
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
52 |
|
simp13l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
53 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) |
54 |
1 4 5 6 7
|
trlat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ) |
55 |
9 10 13 53 54
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ) |
56 |
45 2 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
57 |
19 52 55 56
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
58 |
45 1 3
|
latlem12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ 𝑧 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) |
59 |
43 47 51 57 58
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ 𝑧 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) ) |
60 |
8
|
breq2i |
⊢ ( 𝑧 ≤ 𝑁 ↔ 𝑧 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
61 |
59 60
|
bitr4di |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ↔ 𝑧 ≤ 𝑁 ) ) |
62 |
61
|
biimpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝑧 ≤ 𝑁 ) ) |
63 |
42 62
|
mpand |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → 𝑧 ≤ 𝑁 ) ) |
64 |
41 63
|
mtod |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) |
65 |
1 5 6 7
|
trlle |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ) |
66 |
9 13 65
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ) |
67 |
|
simp13r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) |
68 |
|
nbrne2 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ 𝑄 ) |
69 |
66 67 68
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ 𝑄 ) |
70 |
1 2 4
|
hlatexch1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ 𝑄 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑧 ) → 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
71 |
19 55 44 52 69 70
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑧 ) → 𝑧 ≤ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) ) |
72 |
64 71
|
mtod |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ≠ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑧 ) ) |