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Theorem cdlemg38

Description: Use cdlemg37 to eliminate E. r e. A from cdlemg36 . TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg35.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg35.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg35.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg35.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg35.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg35.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg35.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg38 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg35.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg35.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg35.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg35.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg35.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg35.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg35.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
9 simpl2 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) )
10 simpl3l ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) )
11 simpl3r ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
12 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) )
13 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg36 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
14 8 9 10 11 12 13 syl113anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
15 simpl11 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
16 simpl12 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
17 simpl13 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) )
18 simpl21 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → 𝐹𝑇 )
19 simpl22 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
20 simpl23 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → 𝑃𝑄 )
21 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg37 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ∧ 𝐹𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑃𝑄 ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
23 15 16 17 18 19 20 21 22 syl133anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ∧ ¬ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )
24 14 23 pm2.61dan ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇𝑃𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑃 ) ) ) 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑄 ) ) ) 𝑊 ) )