Theorem cdlemg48

Description: Eliminate h from cdlemg47 . (Contributed by NM, 5-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion	cdlemg48	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3		cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5	1 2 3 4	cdlemftr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
6	5	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ∃ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
7		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
8		simp12l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
9		simp12r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
10		simp2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ ∈ 𝑇 )
11		simp13r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
12		simp13l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
13		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
14		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
15	1 2 3 4	cdlemg47	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
16	7 8 9 10 11 12 13 14 15	syl323anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )
17	16	rexlimdv3a	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ∃ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ℎ ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) )
18	6 17	mpd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) )