Metamath Proof Explorer


Theorem cdlemk17

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 21 on p. 119. O , D are k_1, f_1. (Contributed by NM, 1-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
Assertion cdlemk17 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( 𝑁𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemk15 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( 𝑁𝑃 ) ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) )
12 simp11l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 hlatl ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
14 12 13 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
15 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
16 simp21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → 𝑁𝑇 )
17 simp22l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → 𝑃𝐴 )
18 2 5 6 7 ltrnat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐴 ) → ( 𝑁𝑃 ) ∈ 𝐴 )
19 15 16 17 18 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( 𝑁𝑃 ) ∈ 𝐴 )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemk16 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) 𝑊 ) )
21 20 simpld ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) ∈ 𝐴 )
22 2 5 atcmp ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑁𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑁𝑃 ) ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) ↔ ( 𝑁𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) ) )
23 14 19 21 22 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑁𝑃 ) ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) ↔ ( 𝑁𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) ) )
24 11 23 mpbid ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( 𝑁𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐹 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 𝐷 ) ) ) ) )