Theorem cdlemk25-3

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Eliminate the ( RC ) = ( RD ) requirement from cdlemk24-3 . (Contributed by NM, 7-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
	cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
Assertion	cdlemk25-3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk3.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk3.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
10		cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
11		simpl1	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) )
12		simpl2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) )
13		simpl31	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
14		simpl32	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
15		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
16	14 15	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) )
17		simpl33	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) )
18	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemk24-3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
19	11 12 13 16 17 18	syl113anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
20		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
21		simp121	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
22		simp122	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑇 )
23	20 21 22	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) )
24	23	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) )
25		simp123	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
26		simp131	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
27		simp132	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑇 )
28	25 26 27	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) )
29		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
30		simp221	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
31	28 29 30	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
32	31	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
33		simp222	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
34		simp223	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
35		simp231	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
36	33 34 35	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
37	36	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
38		simp232	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
39		simp311	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) )
40		simp312	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
41	38 39 40	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
42	41	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
43		simp313	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
44	43	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
45		simpl32	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
46		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) )
47	44 45 46	3jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) )
48	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemk22-3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
49	24 32 37 42 47 48	syl113anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
50	19 49	pm2.61dane	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )