Theorem cdlemk26b-3

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
	cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
Assertion	cdlemk26b-3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑇 ( ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk3.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk3.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
10		cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
11		simpl1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
12	1 6 7 8	cdlemftr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑇 ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
13	11 12	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑇 ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
14		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
15		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
16		simp133	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
17		simp131	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
18		simp121	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
19		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑇 )
20		simp123	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
21		simp3r2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
22		simp3r3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
23	21 22	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
24		simp122	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
25		simp132	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
26		simp3r1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
27	24 25 26	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
28		simp2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
29	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemkuel-3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
30	15 16 17 18 19 20 23 27 28 29	syl333anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
31	14 30	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) )
32	31	3expia	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) ) )
33	32	expd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑇 → ( ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) ) ) )
34	33	reximdvai	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑇 ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑇 ( ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) ) )
35	13 34	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑇 ( ( 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) )