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Theorem cdlemk55b

Description: Lemma for cdlemk55 . (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk55b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp1ll ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 simp1lr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
14 1 6 7 8 cdlemftr2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) )
15 12 13 14 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) )
16 simp11 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
17 simp12 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) )
18 simp13 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )
19 simp2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝑇 )
20 simp3 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) → ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk55a ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
22 16 17 18 19 20 21 syl113anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
23 22 rexlimdv3a ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) )
24 15 23 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )