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Theorem cdlemk55a

Description: Lemma for cdlemk55 . (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk55a ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13 simp211 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
14 simp212 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
15 13 14 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
16 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝑗 ∈ 𝑇 )
17 simp213 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
18 simp23 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
19 simp1r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
20 18 19 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
22 12 15 16 17 20 21 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
23 1 6 7 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
24 12 22 23 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
25 f1ococnv2 ⊢ ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
26 24 25 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
27 26 coeq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) = ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
28 simp22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
29 simp31l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
30 6 7 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 )
31 12 28 29 30 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
33 12 15 31 17 20 32 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
34 1 6 7 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
35 12 33 34 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
36 f1of ⊢ ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
37 fcoi1 ⊢ ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
38 35 36 37 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
39 27 38 eqtr2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) )
40 coass ⊢ ( ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
41 39 40 eqtr4di ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk54 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
43 42 coeq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
44 coass ⊢ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
45 26 coeq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) = ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
46 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
47 12 15 28 17 20 46 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
49 12 15 29 17 20 48 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
50 6 7 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝑇 )
51 12 47 49 50 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝑇 )
52 1 6 7 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝑇 ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
53 12 51 52 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
54 f1of ⊢ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
55 fcoi1 ⊢ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
56 53 54 55 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
57 45 56 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ( ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
58 44 57 syl5eq ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
59 43 58 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ( ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∘ ◡ ⦋ 𝑗 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
60 41 59 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑗 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑗 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )