Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk55a

Description: Lemma for cdlemk55 . (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z 
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y 
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x 
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion cdlemk55a 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemk5.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10 cdlemk5.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11 cdlemk5.x 
 |-  X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12 simp1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp211 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> F e. T )
14 simp212 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> F =/= ( _I |` B ) )
15 13 14 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) )
16 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> j e. T )
17 simp213 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> N e. T )
18 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19 simp1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
20 18 19 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ j e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ j / g ]_ X e. T )
22 12 15 16 17 20 21 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ j / g ]_ X e. T )
23 1 6 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ j / g ]_ X e. T ) -> [_ j / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
24 12 22 23 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ j / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
25 f1ococnv2 
 |-  ( [_ j / g ]_ X : B -1-1-onto-> B -> ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( _I |` B ) )
26 24 25 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( _I |` B ) )
27 26 coeq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( _I |` B ) ) )
28 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> G e. T )
29 simp31l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> I e. T )
30 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ I e. T ) -> ( G o. I ) e. T )
31 12 28 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( G o. I ) e. T )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G o. I ) e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T )
33 12 15 31 17 20 32 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T )
34 1 6 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
35 12 33 34 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
36 f1of 
 |-  ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B -1-1-onto-> B -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B --> B )
37 fcoi1 
 |-  ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X : B --> B -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( _I |` B ) ) = [_ ( G o. I ) / g ]_ X )
38 35 36 37 3syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( _I |` B ) ) = [_ ( G o. I ) / g ]_ X )
39 27 38 eqtr2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) )
40 coass 
 |-  ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) )
41 39 40 eqtr4di 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) )
42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk54 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) )
43 42 coeq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) )
44 coass 
 |-  ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) )
45 26 coeq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( _I |` B ) ) )
46 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
47 12 15 28 17 20 46 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ I e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
49 12 15 29 17 20 48 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
50 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T /\ [_ I / g ]_ X e. T ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T )
51 12 47 49 50 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T )
52 1 6 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) e. T ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B -1-1-onto-> B )
53 12 51 52 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B -1-1-onto-> B )
54 f1of 
 |-  ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B -1-1-onto-> B -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B --> B )
55 fcoi1 
 |-  ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) : B --> B -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( _I |` B ) ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
56 53 54 55 3syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( _I |` B ) ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
57 45 56 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. ( [_ j / g ]_ X o. `' [_ j / g ]_ X ) ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
58 44 57 syl5eq 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
59 43 58 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) o. `' [_ j / g ]_ X ) = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
60 41 59 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )