Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemk5.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemk5.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemk5.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemk5.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemk5.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemk5.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemk5.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
8 |
|
cdlemk5.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
9 |
|
cdlemk5.z |
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) ) |
10 |
|
cdlemk5.y |
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) ) |
11 |
|
cdlemk5.x |
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) ) |
12 |
|
coass |
|- ( ( G o. I ) o. j ) = ( G o. ( I o. j ) ) |
13 |
|
csbeq1 |
|- ( ( ( G o. I ) o. j ) = ( G o. ( I o. j ) ) -> [_ ( ( G o. I ) o. j ) / g ]_ X = [_ ( G o. ( I o. j ) ) / g ]_ X ) |
14 |
12 13
|
ax-mp |
|- [_ ( ( G o. I ) o. j ) / g ]_ X = [_ ( G o. ( I o. j ) ) / g ]_ X |
15 |
|
simp1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) |
16 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) ) |
17 |
|
simp1l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
18 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> G e. T ) |
19 |
|
simp31l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> I e. T ) |
20 |
6 7
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ I e. T ) -> ( G o. I ) e. T ) |
21 |
17 18 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( G o. I ) e. T ) |
22 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
23 |
|
simp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> j e. T ) |
24 |
|
simp333 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) |
25 |
24
|
necomd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` ( G o. I ) ) =/= ( R ` j ) ) |
26 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk53 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ ( G o. I ) e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( j e. T /\ ( R ` ( G o. I ) ) =/= ( R ` j ) ) ) -> [_ ( ( G o. I ) o. j ) / g ]_ X = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) ) |
27 |
15 16 21 22 23 25 26
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( ( G o. I ) o. j ) / g ]_ X = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) ) |
28 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) |
29 |
6 7
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T /\ j e. T ) -> ( I o. j ) e. T ) |
30 |
17 19 23 29
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( I o. j ) e. T ) |
31 |
|
simp31r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` G ) = ( R ` I ) ) |
32 |
|
simp332 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` j ) =/= ( R ` G ) ) |
33 |
32 31
|
neeqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` j ) =/= ( R ` I ) ) |
34 |
33
|
necomd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` I ) =/= ( R ` j ) ) |
35 |
|
simp331 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> j =/= ( _I |` B ) ) |
36 |
1 6 7 8
|
trlcone |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( I e. T /\ j e. T ) /\ ( ( R ` I ) =/= ( R ` j ) /\ j =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( R ` I ) =/= ( R ` ( I o. j ) ) ) |
37 |
17 19 23 34 35 36
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` I ) =/= ( R ` ( I o. j ) ) ) |
38 |
31 37
|
eqnetrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` ( I o. j ) ) ) |
39 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk53 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I o. j ) e. T /\ ( R ` G ) =/= ( R ` ( I o. j ) ) ) ) -> [_ ( G o. ( I o. j ) ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ ( I o. j ) / g ]_ X ) ) |
40 |
15 28 30 38 39
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. ( I o. j ) ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ ( I o. j ) / g ]_ X ) ) |
41 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk53 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ I e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( j e. T /\ ( R ` I ) =/= ( R ` j ) ) ) -> [_ ( I o. j ) / g ]_ X = ( [_ I / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) ) |
42 |
15 16 19 22 23 34 41
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( I o. j ) / g ]_ X = ( [_ I / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) ) |
43 |
42
|
coeq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ ( I o. j ) / g ]_ X ) = ( [_ G / g ]_ X o. ( [_ I / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) ) ) |
44 |
|
coass |
|- ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) = ( [_ G / g ]_ X o. ( [_ I / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) ) |
45 |
43 44
|
eqtr4di |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ ( I o. j ) / g ]_ X ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) ) |
46 |
40 45
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> [_ ( G o. ( I o. j ) ) / g ]_ X = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) ) |
47 |
14 27 46
|
3eqtr3a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( ( I e. T /\ ( R ` G ) = ( R ` I ) ) /\ j e. T /\ ( j =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` G ) /\ ( R ` j ) =/= ( R ` ( G o. I ) ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X o. [_ j / g ]_ X ) = ( ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) o. [_ j / g ]_ X ) ) |