Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltrnco.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
ltrnco.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
4 |
|
eqid |
|- ( ( LDil ` K ) ` W ) = ( ( LDil ` K ) ` W ) |
5 |
1 4 2
|
ltrnldil |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) |
6 |
5
|
3adant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) |
7 |
1 4 2
|
ltrnldil |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) |
8 |
7
|
3adant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) |
9 |
1 4
|
ldilco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) -> ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) |
10 |
3 6 8 9
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) |
11 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
12 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) ) |
13 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. p ( le ` K ) W ) |
14 |
12 13
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) ) |
15 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) ) |
16 |
|
simp3r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. q ( le ` K ) W ) |
17 |
15 16
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q ( le ` K ) W ) ) |
18 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> F e. T ) |
19 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> G e. T ) |
20 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
21 |
|
eqid |
|- ( join ` K ) = ( join ` K ) |
22 |
|
eqid |
|- ( meet ` K ) = ( meet ` K ) |
23 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
24 |
20 21 22 23 1 2
|
cdlemg41 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q ( le ` K ) W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) |
25 |
11 14 17 18 19 24
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) |
26 |
25
|
3exp |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
27 |
26
|
ralrimivv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) |
28 |
20 21 22 23 1 4 2
|
isltrn |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( F o. G ) e. T <-> ( ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) ) |
29 |
28
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( F o. G ) e. T <-> ( ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) ) |
30 |
10 27 29
|
mpbir2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T ) |