Theorem trlcocnv

Description: Swap the arguments of the trace of a composition with converse. (Contributed by NM, 1-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	trlcocnv.h	|- H = ( LHyp ` K )
	trlcocnv.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	trlcocnv.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion	trlcocnv	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcocnv.h	|- H = ( LHyp ` K )
2		trlcocnv.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		trlcocnv.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
4		simp1	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5	1 2	ltrncnv	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T )
6	5	3adant2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> `' G e. T )
7	1 2	ltrnco	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ `' G e. T ) -> ( F o. `' G ) e. T )
8	6 7	syld3an3	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. `' G ) e. T )
9	1 2 3	trlcnv	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F o. `' G ) e. T ) -> ( R ` `' ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( F o. `' G ) ) )
10	4 8 9	syl2anc	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` `' ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( F o. `' G ) ) )
11		cnvco	|- `' ( F o. `' G ) = ( `' `' G o. `' F )
12		cocnvcnv1	|- ( `' `' G o. `' F ) = ( G o. `' F )
13	11 12	eqtri	|- `' ( F o. `' G ) = ( G o. `' F )
14	13	fveq2i	|- ( R ` `' ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) )
15	10 14	eqtr3di	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` ( F o. `' G ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) )