Theorem cmbr3

Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of Kalmbach p. 23. (Contributed by NM, 14-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	cmbr3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ) )
2		id	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) )
3		fveq2	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ⊥ ‘ 𝐴 ) = ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) )
4	3	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) )
5	2 4	ineq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) )
6		ineq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) )
7	5 6	eqeq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ) )
8	1 7	bibi12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ) ) )
9		breq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ↔ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
10		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
11	10	ineq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) )
12		ineq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
13	11 12	eqeq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) )
14	9 13	bibi12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) ) )
15		h0elch	⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
16	15	elimel	⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
17	15	elimel	⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
18	16 17	cmbr3i	⊢ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) 𝐶ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
19	8 14 18	dedth2h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )