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Theorem cmbr3

Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of Kalmbach p. 23. (Contributed by NM, 14-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion cmbr3 
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A C_H B <-> ( A i^i ( ( _|_ ` A ) vH B ) ) = ( A i^i B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 breq1 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( A C_H B <-> if ( A e. CH , A , 0H ) C_H B ) )
2 id 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> A = if ( A e. CH , A , 0H ) )
3 fveq2 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( _|_ ` A ) = ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) )
4 3 oveq1d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( ( _|_ ` A ) vH B ) = ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) )
5 2 4 ineq12d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( A i^i ( ( _|_ ` A ) vH B ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) ) )
6 ineq1 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( A i^i B ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) )
7 5 6 eqeq12d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( ( A i^i ( ( _|_ ` A ) vH B ) ) = ( A i^i B ) <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) ) )
8 1 7 bibi12d 
 |-  ( A = if ( A e. CH , A , 0H ) -> ( ( A C_H B <-> ( A i^i ( ( _|_ ` A ) vH B ) ) = ( A i^i B ) ) <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) C_H B <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) ) ) )
9 breq2 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( if ( A e. CH , A , 0H ) C_H B <-> if ( A e. CH , A , 0H ) C_H if ( B e. CH , B , 0H ) ) )
10 oveq2 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) = ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH if ( B e. CH , B , 0H ) ) )
11 10 ineq2d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH if ( B e. CH , B , 0H ) ) ) )
12 ineq2 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) )
13 11 12 eqeq12d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH if ( B e. CH , B , 0H ) ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) ) )
14 9 13 bibi12d 
 |-  ( B = if ( B e. CH , B , 0H ) -> ( ( if ( A e. CH , A , 0H ) C_H B <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH B ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i B ) ) <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) C_H if ( B e. CH , B , 0H ) <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH if ( B e. CH , B , 0H ) ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) ) ) )
15 h0elch 
 |-  0H e. CH
16 15 elimel 
 |-  if ( A e. CH , A , 0H ) e. CH
17 15 elimel 
 |-  if ( B e. CH , B , 0H ) e. CH
18 16 17 cmbr3i 
 |-  ( if ( A e. CH , A , 0H ) C_H if ( B e. CH , B , 0H ) <-> ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i ( ( _|_ ` if ( A e. CH , A , 0H ) ) vH if ( B e. CH , B , 0H ) ) ) = ( if ( A e. CH , A , 0H ) i^i if ( B e. CH , B , 0H ) ) )
19 8 14 18 dedth2h 
 |-  ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A C_H B <-> ( A i^i ( ( _|_ ` A ) vH B ) ) = ( A i^i B ) ) )