Metamath Proof Explorer


Theorem csbfv12gALTVD

Description: Virtual deduction proof of csbfv12 . The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbfv12 is csbfv12gALTVD without virtual deductions and was automatically derived from csbfv12gALTVD .

1:: |- (. A e. C ->. A e. C ).
2:1: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ { y } = { y } ).
3:1: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ ( F " { B } ) = ( [_ A / x ]_ F " [_ A / x ]_ { B } ) ).
4:1: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ { B } = { [_ A / x ]_ B } ).
5:4: |- (. A e. C ->. ( [_ A / x ]_ F " [_ A / x ]_ { B } ) = ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) ).
6:3,5: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ ( F " { B } ) = ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) ).
7:1: |- (. A e. C ->. ( [. A / x ]. ( F " { B } ) = { y } <-> [_ A / x ]_ ( F " { B } ) = [_ A / x ]_ { y } ) ).
8:6,2: |- (. A e. C ->. ( [_ A / x ]_ ( F " { B } ) = [_ A / x ]_ { y } <-> ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } ) ).
9:7,8: |- (. A e. C ->. ( [. A / x ]. ( F " { B } ) = { y } <-> ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } ) ).
10:9: |- (. A e. C ->. A. y ( [. A / x ]. ( F " { B } ) = { y } <-> ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } ) ).
11:10: |- (. A e. C ->. { y | [. A / x ]. ( F " { B } ) = { y } } = { y | ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } } ).
12:1: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ { y | ( F " { B } ) = { y } } = { y | [. A / x ]. ( F " { B } ) = { y } } ).
13:11,12: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ { y | ( F " { B } ) = { y } } = { y | ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } } ).
14:13: |- (. A e. C ->. U. [_ A / x ]_ { y | ( F " { B } ) = { y } } = U. { y | ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } } ).
15:1: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ U. { y | ( F " { B } ) = { y } } = U. [_ A / x ]_ { y | ( F " { B } ) = { y } } ).
16:14,15: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ U. { y | ( F " { B } ) = { y } } = U. { y | ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } } ).
17:: |- ( FB ) = U. { y | ( F " { B } ) = { y } }
18:17: |- A. x ( FB ) = U. { y | ( F " { B } ) = { y } }
19:1,18: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ ( FB ) = [_ A / x ]_ U. { y | ( F " { B } ) = { y } } ).
20:16,19: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ ( FB ) = U. { y | ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } } ).
21:: |- ( [_ A / x ]_ F[_ A / x ]_ B ) = U. { y | ( [_ A / x ]_ F " { [_ A / x ]_ B } ) = { y } }
22:20,21: |- (. A e. C ->. [_ A / x ]_ ( FB ) = ( [_ A / x ]_ F[_ A / x ]_ B ) ).
qed:22: |- ( A e. C -> [_ A / x ]_ ( FB ) = ( [_ A / x ]_ F[_ A / x ]_ B ) )
(Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion csbfv12gALTVD ( 𝐴𝐶 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idn1 (    𝐴𝐶    ▶    𝐴𝐶    )
2 sbceqg ( 𝐴𝐶 → ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ) )
3 1 2 e1a (    𝐴𝐶    ▶    ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } )    )
4 csbima12 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } )
5 4 a1i ( 𝐴𝐶 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } ) )
6 1 5 e1a (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } )    )
7 csbsng ( 𝐴𝐶 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } = { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } )
8 1 7 e1a (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } = { 𝐴 / 𝑥 𝐵 }    )
9 imaeq2 ( 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } = { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } → ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) )
10 8 9 e1a (    𝐴𝐶    ▶    ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } )    )
11 eqeq1 ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } ) → ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) ) )
12 11 biimprd ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } ) → ( ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) → 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) ) )
13 6 10 12 e11 (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } )    )
14 csbconstg ( 𝐴𝐶 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } = { 𝑦 } )
15 1 14 e1a (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } = { 𝑦 }    )
16 eqeq12 ( ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) ∧ 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } = { 𝑦 } ) → ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) )
17 16 ex ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) → ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } = { 𝑦 } → ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) )
18 13 15 17 e11 (    𝐴𝐶    ▶    ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } )    )
19 bibi1 ( ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ) → ( ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ↔ ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) )
20 19 biimprd ( ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ) → ( ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) → ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) )
21 3 18 20 e11 (    𝐴𝐶    ▶    ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } )    )
22 21 gen11 (    𝐴𝐶    ▶   𝑦 ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } )    )
23 abbi ( ∀ 𝑦 ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ↔ { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } )
24 23 biimpi ( ∀ 𝑦 ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) → { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } )
25 22 24 e1a (    𝐴𝐶    ▶    { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
26 csbab 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } }
27 26 a1i ( 𝐴𝐶 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } )
28 1 27 e1a (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
29 eqeq2 ( { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ↔ 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
30 29 biimpd ( { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦[ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
31 25 28 30 e11 (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
32 unieq ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } )
33 31 32 e1a (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
34 csbuni 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } }
35 34 a1i ( 𝐴𝐶 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } )
36 1 35 e1a (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
37 eqeq2 ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ↔ 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
38 37 biimpd ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
39 33 36 38 e11 (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
40 dffv4 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } }
41 40 ax-gen 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } }
42 csbeq2 ( ∀ 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } )
43 42 a1i ( 𝐴𝐶 → ( ∀ 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
44 1 41 43 e10 (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
45 eqeq2 ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ↔ 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
46 45 biimpd ( 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = 𝐴 / 𝑥 { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
47 39 44 46 e11 (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } }    )
48 dffv4 ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } }
49 eqeq2 ( ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 ) ↔ 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) )
50 49 biimprcd ( 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 ) = { 𝑦 ∣ ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 “ { 𝐴 / 𝑥 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 ) ) )
51 47 48 50 e10 (    𝐴𝐶    ▶    𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 )    )
52 51 in1 ( 𝐴𝐶 𝐴 / 𝑥 ( 𝐹𝐵 ) = ( 𝐴 / 𝑥 𝐹 𝐴 / 𝑥 𝐵 ) )