Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
idn1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ 𝐴 ∈ 𝐶 ) |
2 |
|
sbceqg |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ) ) |
3 |
1 2
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ) ) |
4 |
|
csbima12 |
⊢ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) |
5 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) ) |
6 |
1 5
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) ) |
7 |
|
csbsng |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } = { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) |
8 |
1 7
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } = { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) |
9 |
|
imaeq2 |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } = { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) ) |
10 |
8 9
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) ) |
11 |
|
eqeq1 |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) ) ) |
12 |
11
|
biimprd |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) → ( ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) ) ) |
13 |
6 10 12
|
e11 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) ) |
14 |
|
csbconstg |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } = { 𝑦 } ) |
15 |
1 14
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } = { 𝑦 } ) |
16 |
|
eqeq12 |
⊢ ( ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) ∧ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } = { 𝑦 } ) → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) |
17 |
16
|
ex |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } = { 𝑦 } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) ) |
18 |
13 15 17
|
e11 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) |
19 |
|
bibi1 |
⊢ ( ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ) → ( ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) ) |
20 |
19
|
biimprd |
⊢ ( ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ) → ( ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) → ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) ) |
21 |
3 18 20
|
e11 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) |
22 |
21
|
gen11 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ∀ 𝑦 ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ) |
23 |
|
abbi |
⊢ ( ∀ 𝑦 ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) ↔ { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
24 |
23
|
biimpi |
⊢ ( ∀ 𝑦 ( [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } ↔ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } ) → { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
25 |
22 24
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
26 |
|
csbab |
⊢ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
28 |
1 27
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
29 |
|
eqeq2 |
⊢ ( { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
30 |
29
|
biimpd |
⊢ ( { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ [ 𝐴 / 𝑥 ] ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
31 |
25 28 30
|
e11 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
32 |
|
unieq |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
33 |
31 32
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
34 |
|
csbuni |
⊢ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } |
35 |
34
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
36 |
1 35
|
e1a |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
37 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
38 |
37
|
biimpd |
⊢ ( ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
39 |
33 36 38
|
e11 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
40 |
|
dffv4 |
⊢ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } |
41 |
40
|
ax-gen |
⊢ ∀ 𝑥 ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } |
42 |
|
csbeq2 |
⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
43 |
42
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ( ∀ 𝑥 ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
44 |
1 41 43
|
e10 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
45 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
46 |
45
|
biimpd |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ∪ { 𝑦 ∣ ( 𝐹 “ { 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
47 |
39 44 46
|
e11 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) |
48 |
|
dffv4 |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 ‘ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } |
49 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 ‘ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 ‘ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ↔ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } ) ) |
50 |
49
|
biimprcd |
⊢ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ( ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 ‘ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) = ∪ { 𝑦 ∣ ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 “ { ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 } ) = { 𝑦 } } → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 ‘ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) ) |
51 |
47 48 50
|
e10 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 ▶ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 ‘ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |
52 |
51
|
in1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝐶 → ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ ( 𝐹 ‘ 𝐵 ) = ( ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐹 ‘ ⦋ 𝐴 / 𝑥 ⦌ 𝐵 ) ) |