Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dalawlem.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
dalawlem.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
dalawlem.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
dalawlem.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
dalawlem2.o |
⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
ianor |
⊢ ( ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ↔ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∨ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ) |
7 |
1 2 3 4 5
|
dalawlem13 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) |
8 |
7
|
3expib |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) |
9 |
8
|
3exp |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) ) |
10 |
1 2 3 4
|
dalawlem10 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) |
11 |
10
|
3expib |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) |
12 |
11
|
3exp |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) ) |
13 |
9 12
|
jaod |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∨ ¬ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) ) |
14 |
6 13
|
syl5bi |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
3imp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) ) |
16 |
15
|
3impib |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≤ ( ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ) ) |