Theorem dalem53

Description: Lemma for dath . The auxliary axis of perspectivity B is a line (analogous to the actual axis of perspectivity X in dalem15 . (Contributed by NM, 8-Aug-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	dalem.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
	dalem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	dalem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	dalem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	dalem.ps	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
	dalem53.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	dalem53.n	⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
	dalem53.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
	dalem53.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
	dalem53.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
	dalem53.g	⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
	dalem53.h	⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
	dalem53.i	⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
	dalem53.b1	⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
Assertion	dalem53	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 ∈ 𝑁 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem.ph	⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) )
2		dalem.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		dalem.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		dalem.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		dalem.ps	⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) )
6		dalem53.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7		dalem53.n	⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
8		dalem53.o	⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
9		dalem53.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 )
10		dalem53.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
11		dalem53.g	⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) )
12		dalem53.h	⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) )
13		dalem53.i	⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) )
14		dalem53.b1	⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 )
15	1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13	dalem51	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ≠ 𝑌 ) )
16		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
17	16 4	atbase	⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18	17	anim2i	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) )
19	18	3anim1i	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) )
20		biid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) )
21		eqid	⊢ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 )
22	20 2 3 4 6 7 8 21 9 14	dalem15	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ≠ 𝑌 ) → 𝐵 ∈ 𝑁 )
23	19 22	syl3anl1	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐻 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝐼 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝐺 ) ) ∧ ( ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑐 ≤ ( 𝐺 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐻 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑐 ≤ ( 𝐼 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ≠ 𝑌 ) → 𝐵 ∈ 𝑁 )
24	15 23	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 ∈ 𝑁 )