Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-eqvrel |
⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅 ) ) |
2 |
|
refsymrel3 |
⊢ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ) ↔ ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
3 |
|
dftrrel3 |
⊢ ( TrRel 𝑅 ↔ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
4 |
2 3
|
anbi12i |
⊢ ( ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ) ∧ TrRel 𝑅 ) ↔ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ∧ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) ) |
5 |
|
df-3an |
⊢ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅 ) ↔ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ) ∧ TrRel 𝑅 ) ) |
6 |
|
df-3an |
⊢ ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) |
7 |
6
|
anbi1i |
⊢ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ↔ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
8 |
|
3anan32 |
⊢ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ Rel 𝑅 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
9 |
|
anandi3r |
⊢ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ Rel 𝑅 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ∧ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) ) |
10 |
7 8 9
|
3bitr2i |
⊢ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ↔ ( ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ∧ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ Rel 𝑅 ) ) ) |
11 |
4 5 10
|
3bitr4i |
⊢ ( ( RefRel 𝑅 ∧ SymRel 𝑅 ∧ TrRel 𝑅 ) ↔ ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |
12 |
1 11
|
bitri |
⊢ ( EqvRel 𝑅 ↔ ( ( ∀ 𝑥 ∈ dom 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ∀ 𝑧 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ Rel 𝑅 ) ) |