Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-mpt |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) } |
2 |
|
velsn |
⊢ ( 𝑦 ∈ { 𝐵 } ↔ 𝑦 = 𝐵 ) |
3 |
2
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ { 𝐵 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) |
4 |
3
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ { 𝐵 } ) ) ↔ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ) |
5 |
4
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ { 𝐵 } ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ) |
6 |
|
eliunxp |
⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝐵 } ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ { 𝐵 } ) ) ) |
7 |
|
elopab |
⊢ ( 𝑧 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) ) ) |
8 |
5 6 7
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝐵 } ) ↔ 𝑧 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) } ) |
9 |
8
|
eqriv |
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝐵 } ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵 ) } |
10 |
1 9
|
eqtr4i |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝐵 } ) |