Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvdszrcl |
⊢ ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
2 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
3 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( 𝑚 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) ) |
4 |
3
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( 𝑚 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ↔ ( 𝑀 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ) ) |
5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 = 𝑀 ) → ( ( 𝑚 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ↔ ( 𝑀 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ) ) |
6 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
7 |
6
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
9 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
12 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → 𝑀 ≠ 0 ) |
13 |
8 11 12
|
divcan2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → ( 𝑀 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ) |
14 |
2 5 13
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑚 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑚 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ) |
16 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → 𝑀 ∥ 𝑁 ) |
17 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
19 |
2 12 18
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
21 |
|
dvdsval2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑁 / 𝑀 ) ∈ ℤ ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ( 𝑁 / 𝑀 ) ∈ ℤ ) ) |
23 |
16 22
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑁 / 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
24 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
25 |
|
divides |
⊢ ( ( ( 𝑁 / 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 / 𝑀 ) ∥ 𝑁 ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑚 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ) ) |
26 |
23 24 25
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → ( ( 𝑁 / 𝑀 ) ∥ 𝑁 ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑚 · ( 𝑁 / 𝑀 ) ) = 𝑁 ) ) |
27 |
15 26
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑀 ≠ 0 ) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁 ) → ( 𝑁 / 𝑀 ) ∥ 𝑁 ) |
28 |
27
|
exp31 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ≠ 0 → ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( 𝑁 / 𝑀 ) ∥ 𝑁 ) ) ) |
29 |
28
|
com3r |
⊢ ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ≠ 0 → ( 𝑁 / 𝑀 ) ∥ 𝑁 ) ) ) |
30 |
1 29
|
mpd |
⊢ ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( 𝑀 ≠ 0 → ( 𝑁 / 𝑀 ) ∥ 𝑁 ) ) |
31 |
30
|
imp |
⊢ ( ( 𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ≠ 0 ) → ( 𝑁 / 𝑀 ) ∥ 𝑁 ) |