Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
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dfoprab2 |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝜑 } = { 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } |
2 |
1
|
dmeqi |
⊢ dom { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝜑 } = dom { 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } |
3 |
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dmopab |
⊢ dom { 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } |
4 |
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exrot3 |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
5 |
|
19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ∃ 𝑧 𝜑 ) ) |
6 |
5
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2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ∃ 𝑧 𝜑 ) ) |
7 |
4 6
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ∃ 𝑧 𝜑 ) ) |
8 |
7
|
abbii |
⊢ { 𝑤 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ∃ 𝑧 𝜑 ) } |
9 |
|
df-opab |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑧 𝜑 } = { 𝑤 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ∃ 𝑧 𝜑 ) } |
10 |
8 9
|
eqtr4i |
⊢ { 𝑤 ∣ ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑧 𝜑 } |
11 |
2 3 10
|
3eqtri |
⊢ dom { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝜑 } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑧 𝜑 } |