Theorem domsdomtrfi

Description: Transitivity of dominance and strict dominance when A is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domsdomtr ). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024)

	Ref	Expression
Assertion	domsdomtrfi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶 ) → 𝐴 ≺ 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom	⊢ ( 𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶 )
2		domtrfil	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )
3	1 2	syl3an3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶 ) → 𝐴 ≼ 𝐶 )
4		ensymfib	⊢ ( 𝐴 ∈ Fin → ( 𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴 ) )
5	4	biimpa	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ) → 𝐶 ≈ 𝐴 )
6	5	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → 𝐶 ≈ 𝐴 )
7		enfii	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ Fin )
8	7	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → 𝐶 ∈ Fin )
9		endom	⊢ ( 𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴 )
10		domtrfi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → 𝐶 ≼ 𝐵 )
11	9 10	syl3an2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → 𝐶 ≼ 𝐵 )
12	8 11	jca	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → ( 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵 ) )
13	6 12	syld3an2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → ( 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵 ) )
14		domnsymfi	⊢ ( ( 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵 ) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶 )
15	13 14	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶 )
16	15	3com23	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶 )
17	16	3expia	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → ( 𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶 ) )
18	17	con2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ) → ( 𝐵 ≺ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶 ) )
19	18	3impia	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶 ) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶 )
20		brsdom	⊢ ( 𝐴 ≺ 𝐶 ↔ ( 𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶 ) )
21	3 19 20	sylanbrc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶 ) → 𝐴 ≺ 𝐶 )