Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvavbase.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
dvavbase.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
dvavbase.u |
⊢ 𝑈 = ( ( DVecA ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
dvavbase.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
7 |
1 2 5 6 3
|
dvaset |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → 𝑈 = ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑇 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , ( 𝑓 ∈ 𝑇 , 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) 〉 , 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) 〉 } ∪ { 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑠 ∈ ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) , 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ) 〉 } ) ) |
8 |
7
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( Base ‘ 𝑈 ) = ( Base ‘ ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑇 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , ( 𝑓 ∈ 𝑇 , 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) 〉 , 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) 〉 } ∪ { 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑠 ∈ ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) , 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ) 〉 } ) ) ) |
9 |
2
|
fvexi |
⊢ 𝑇 ∈ V |
10 |
|
eqid |
⊢ ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑇 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , ( 𝑓 ∈ 𝑇 , 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) 〉 , 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) 〉 } ∪ { 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑠 ∈ ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) , 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ) 〉 } ) = ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑇 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , ( 𝑓 ∈ 𝑇 , 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) 〉 , 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) 〉 } ∪ { 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑠 ∈ ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) , 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ) 〉 } ) |
11 |
10
|
lmodbase |
⊢ ( 𝑇 ∈ V → 𝑇 = ( Base ‘ ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑇 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , ( 𝑓 ∈ 𝑇 , 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) 〉 , 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) 〉 } ∪ { 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑠 ∈ ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) , 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ) 〉 } ) ) ) |
12 |
9 11
|
ax-mp |
⊢ 𝑇 = ( Base ‘ ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝑇 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , ( 𝑓 ∈ 𝑇 , 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑓 ∘ 𝑔 ) ) 〉 , 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( ( EDRing ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) 〉 } ∪ { 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( 𝑠 ∈ ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) , 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ) 〉 } ) ) |
13 |
8 4 12
|
3eqtr4g |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → 𝑉 = 𝑇 ) |