Theorem dvds0lem

Description: A lemma to assist theorems of || with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

	Ref	Expression
Assertion	dvds0lem	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) → 𝑀 ∥ 𝑁 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝐾 → ( 𝑥 · 𝑀 ) = ( 𝐾 · 𝑀 ) )
2	1	eqeq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝐾 → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ↔ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
3	2	rspcev	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 )
4	3	adantl	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 )
5		divides	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
6	5	adantr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
7	4 6	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) → 𝑀 ∥ 𝑁 )
8	7	expr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
9	8	3impa	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
10	9	3comr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
11	10	imp	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 · 𝑀 ) = 𝑁 ) → 𝑀 ∥ 𝑁 )