Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvdsr.1 |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
dvdsr.2 |
⊢ ∥ = ( ∥r ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
dvdsr.3 |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
5 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑌 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) |
7 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( 𝑧 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) ) |
8 |
7
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ( 𝑧 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) ↔ ( 𝑌 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) ) ) |
9 |
8
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑧 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) ) |
10 |
5 6 9
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑧 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) ) |
11 |
1 2 3
|
dvdsr |
⊢ ( 𝑋 ∥ ( 𝑌 · 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑧 · 𝑋 ) = ( 𝑌 · 𝑋 ) ) ) |
12 |
4 10 11
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∥ ( 𝑌 · 𝑋 ) ) |