Theorem dya2iocress

Description: Dyadic intervals are subsets of RR . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017)

	Ref	Expression
Hypotheses	sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
	dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ ℤ , 𝑛 ∈ ℤ ↦ ( ( 𝑥 / ( 2 ↑ 𝑛 ) ) [,) ( ( 𝑥 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑛 ) ) ) )
Assertion	dya2iocress	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 𝐼 𝑁 ) ⊆ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) )
2		dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ ℤ , 𝑛 ∈ ℤ ↦ ( ( 𝑥 / ( 2 ↑ 𝑛 ) ) [,) ( ( 𝑥 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑛 ) ) ) )
3	1 2	dya2iocival	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 𝐼 𝑁 ) = ( ( 𝑋 / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) [,) ( ( 𝑋 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ) )
4		simpr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ℤ )
5	4	zred	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
6		2rp	⊢ 2 ∈ ℝ+
7	6	a1i	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 2 ∈ ℝ+ )
8		simpl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ )
9	7 8	rpexpcld	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 2 ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ+ )
10	5 9	rerpdivcld	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ )
11		1red	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → 1 ∈ ℝ )
12	5 11	readdcld	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 + 1 ) ∈ ℝ )
13	12 9	rerpdivcld	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ )
14	13	rexrd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ* )
15		icossre	⊢ ( ( ( 𝑋 / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑋 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑋 / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) [,) ( ( 𝑋 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ) ⊆ ℝ )
16	10 14 15	syl2anc	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑋 / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) [,) ( ( 𝑋 + 1 ) / ( 2 ↑ 𝑁 ) ) ) ⊆ ℝ )
17	3 16	eqsstrd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 𝐼 𝑁 ) ⊆ ℝ )