Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fzsuc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∪ { ( 𝑁 + 1 ) } ) ) |
2 |
1
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ 𝐾 ∈ ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∪ { ( 𝑁 + 1 ) } ) ) ) |
3 |
|
elun |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∪ { ( 𝑁 + 1 ) } ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ 𝐾 ∈ { ( 𝑁 + 1 ) } ) ) |
4 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑁 + 1 ) ∈ V |
5 |
4
|
elsn2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ { ( 𝑁 + 1 ) } ↔ 𝐾 = ( 𝑁 + 1 ) ) |
6 |
5
|
orbi2i |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ 𝐾 ∈ { ( 𝑁 + 1 ) } ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ 𝐾 = ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
7 |
3 6
|
bitri |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∪ { ( 𝑁 + 1 ) } ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ 𝐾 = ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
8 |
2 7
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∨ 𝐾 = ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) |