Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elhoi.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
ovexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∈ V ) |
3 |
|
elmapg |
⊢ ( ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑌 ∈ ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ↑m 𝑋 ) ↔ 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
4 |
2 1 3
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ↑m 𝑋 ) ↔ 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
5 |
|
id |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) → 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
6 |
|
icossxr |
⊢ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ⊆ ℝ* |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) → ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ⊆ ℝ* ) |
8 |
5 7
|
fssd |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) → 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ) |
9 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
10 |
9
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
11 |
8 10
|
jca |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) → ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
12 |
|
ffn |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* → 𝑌 Fn 𝑋 ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → 𝑌 Fn 𝑋 ) |
14 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
15 |
13 14
|
jca |
⊢ ( ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → ( 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
16 |
|
ffnfv |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ↔ ( 𝑌 Fn 𝑋 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
17 |
15 16
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
18 |
11 17
|
impbii |
⊢ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ↔ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
19 |
18
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ↔ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) ) |
20 |
4 19
|
bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ↑m 𝑋 ) ↔ ( 𝑌 : 𝑋 ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝑌 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) ) |