Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
wwlks2onv.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
id |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) → 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) |
3 |
1
|
elwwlks2ons3im |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) → ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) ) |
4 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) ↔ ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) ) ) |
5 |
2 3 4
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) → ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) ) |
6 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) |
7 |
|
s3eq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑊 ‘ 1 ) → 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) |
8 |
|
eqeq2 |
⊢ ( 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 → ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ↔ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) ) |
9 |
|
eleq1 |
⊢ ( 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 → ( 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ↔ 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
10 |
8 9
|
anbi12d |
⊢ ( 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 → ( ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) ) |
11 |
7 10
|
syl |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑊 ‘ 1 ) → ( ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) ) |
12 |
11
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑏 = ( 𝑊 ‘ 1 ) ) → ( ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ↔ ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) → 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) |
14 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 → ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ↔ 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
15 |
14
|
biimpac |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) → 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) |
16 |
13 15
|
jca |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) → ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
18 |
6 12 17
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ∧ 𝑊 = 〈“ 𝐴 ( 𝑊 ‘ 1 ) 𝐶 ”〉 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 1 ) ∈ 𝑉 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
19 |
5 18
|
syl |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
20 |
|
eleq1 |
⊢ ( 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 = 𝑊 → ( 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ↔ 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
21 |
20
|
eqcoms |
⊢ ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 → ( 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ↔ 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |
22 |
21
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) → 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) |
23 |
22
|
rexlimivw |
⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) → 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) |
24 |
19 23
|
impbii |
⊢ ( 𝑊 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝑉 ( 𝑊 = 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝑏 𝐶 ”〉 ∈ ( 𝐴 ( 2 WWalksNOn 𝐺 ) 𝐶 ) ) ) |