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Theorem fidomtri

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015)

Ref Expression
Assertion fidomtri ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 domnsym ( 𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴 )
2 finnum ( 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card )
3 2 adantr ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) → 𝐴 ∈ dom card )
4 finnum ( 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card )
5 domtri2 ( ( 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴 ) )
6 3 4 5 syl2an ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴 ) )
7 6 biimprd ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) ∧ 𝐵 ∈ Fin ) → ( ¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵 ) )
8 isinffi ( ( ¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin ) → ∃ 𝑎 𝑎 : 𝐴1-1𝐵 )
9 8 ancoms ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin ) → ∃ 𝑎 𝑎 : 𝐴1-1𝐵 )
10 9 adantlr ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin ) → ∃ 𝑎 𝑎 : 𝐴1-1𝐵 )
11 brdomg ( 𝐵𝑉 → ( 𝐴𝐵 ↔ ∃ 𝑎 𝑎 : 𝐴1-1𝐵 ) )
12 11 ad2antlr ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ∃ 𝑎 𝑎 : 𝐴1-1𝐵 ) )
13 10 12 mpbird ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin ) → 𝐴𝐵 )
14 13 a1d ( ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin ) → ( ¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵 ) )
15 7 14 pm2.61dan ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) → ( ¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵 ) )
16 1 15 impbid2 ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴 ) )