Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fzosplitsn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) ) |
2 |
1
|
difeq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) ) |
3 |
|
difun2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∪ { 𝑁 } ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) |
4 |
2 3
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) ) |
5 |
|
fzonel |
⊢ ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) |
6 |
|
disjsn |
⊢ ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ) |
7 |
5 6
|
mpbir |
⊢ ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ |
8 |
|
disjdif2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ → ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ) |
9 |
7 8
|
mp1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ) |
10 |
4 9
|
eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ..^ ( 𝑁 + 1 ) ) ∖ { 𝑁 } ) = ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ) |