Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
2 |
|
elfzel1 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
3 |
2
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
4 |
|
elfzel2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
6 |
1 3 5
|
3jca |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
7 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
8 |
|
elfzel1 |
⊢ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
10 |
|
elfzel2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
12 |
7 9 11
|
3jca |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
13 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
14 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
15 |
|
pncan |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) = 𝑀 ) |
16 |
|
pncan2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) = 𝑁 ) |
17 |
15 16
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ... ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
18 |
13 14 17
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ... ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
19 |
18
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ... ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
20 |
19
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ... ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
21 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
22 |
|
zaddcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
23 |
22
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
24 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
25 |
|
fzrev |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐾 ∈ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ... ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ↔ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
26 |
21 23 24 25
|
syl12anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑁 ) ... ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝑀 ) ) ↔ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
27 |
20 26
|
bitr3d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
28 |
6 12 27
|
pm5.21nd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) − 𝐾 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |