Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brgic |
⊢ ( 𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ≠ ∅ ) |
2 |
|
brgic |
⊢ ( 𝑆 ≃𝑔 𝑇 ↔ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ≠ ∅ ) |
3 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ) |
4 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑔 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ) |
5 |
|
exdistrv |
⊢ ( ∃ 𝑓 ∃ 𝑔 ( 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ) ↔ ( ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ∧ ∃ 𝑔 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ) ) |
6 |
|
gimco |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ) → ( 𝑔 ∘ 𝑓 ) ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑇 ) ) |
7 |
|
brgici |
⊢ ( ( 𝑔 ∘ 𝑓 ) ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑇 ) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇 ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇 ) |
9 |
8
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇 ) |
10 |
9
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑓 ∃ 𝑔 ( 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ∧ 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇 ) |
11 |
5 10
|
sylbir |
⊢ ( ( ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ∧ ∃ 𝑔 𝑔 ∈ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇 ) |
12 |
3 4 11
|
syl2anb |
⊢ ( ( ( 𝑅 GrpIso 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑆 GrpIso 𝑇 ) ≠ ∅ ) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇 ) |
13 |
1 2 12
|
syl2anb |
⊢ ( ( 𝑅 ≃𝑔 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑔 𝑇 ) → 𝑅 ≃𝑔 𝑇 ) |