Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-goal |
⊢ ∀𝑔 𝑖 𝐴 = 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 |
2 |
|
2on0 |
⊢ 2o ≠ ∅ |
3 |
2
|
neii |
⊢ ¬ 2o = ∅ |
4 |
3
|
intnanr |
⊢ ¬ ( 2o = ∅ ∧ 〈 𝑖 , 𝐴 〉 = 〈 𝑘 , 𝑗 〉 ) |
5 |
|
2oex |
⊢ 2o ∈ V |
6 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑖 , 𝐴 〉 ∈ V |
7 |
5 6
|
opth |
⊢ ( 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = 〈 ∅ , 〈 𝑘 , 𝑗 〉 〉 ↔ ( 2o = ∅ ∧ 〈 𝑖 , 𝐴 〉 = 〈 𝑘 , 𝑗 〉 ) ) |
8 |
4 7
|
mtbir |
⊢ ¬ 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = 〈 ∅ , 〈 𝑘 , 𝑗 〉 〉 |
9 |
|
goel |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω ) → ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) = 〈 ∅ , 〈 𝑘 , 𝑗 〉 〉 ) |
10 |
9
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω ) → ( 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ↔ 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = 〈 ∅ , 〈 𝑘 , 𝑗 〉 〉 ) ) |
11 |
8 10
|
mtbiri |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω ) → ¬ 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ) |
12 |
11
|
rgen2 |
⊢ ∀ 𝑘 ∈ ω ∀ 𝑗 ∈ ω ¬ 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) |
13 |
|
ralnex2 |
⊢ ( ∀ 𝑘 ∈ ω ∀ 𝑗 ∈ ω ¬ 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ↔ ¬ ∃ 𝑘 ∈ ω ∃ 𝑗 ∈ ω 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ) |
14 |
12 13
|
mpbi |
⊢ ¬ ∃ 𝑘 ∈ ω ∃ 𝑗 ∈ ω 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) |
15 |
14
|
intnan |
⊢ ¬ ( 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 ∈ V ∧ ∃ 𝑘 ∈ ω ∃ 𝑗 ∈ ω 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ) |
16 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 → ( 𝑥 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ↔ 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ) ) |
17 |
16
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑥 = 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 → ( ∃ 𝑘 ∈ ω ∃ 𝑗 ∈ ω 𝑥 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ↔ ∃ 𝑘 ∈ ω ∃ 𝑗 ∈ ω 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ) ) |
18 |
|
fmla0 |
⊢ ( Fmla ‘ ∅ ) = { 𝑥 ∈ V ∣ ∃ 𝑘 ∈ ω ∃ 𝑗 ∈ ω 𝑥 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) } |
19 |
17 18
|
elrab2 |
⊢ ( 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 ∈ ( Fmla ‘ ∅ ) ↔ ( 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 ∈ V ∧ ∃ 𝑘 ∈ ω ∃ 𝑗 ∈ ω 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 = ( 𝑘 ∈𝑔 𝑗 ) ) ) |
20 |
15 19
|
mtbir |
⊢ ¬ 〈 2o , 〈 𝑖 , 𝐴 〉 〉 ∈ ( Fmla ‘ ∅ ) |
21 |
1 20
|
eqneltri |
⊢ ¬ ∀𝑔 𝑖 𝐴 ∈ ( Fmla ‘ ∅ ) |
22 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑁 = ∅ → ( Fmla ‘ 𝑁 ) = ( Fmla ‘ ∅ ) ) |
23 |
22
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑁 = ∅ → ( ∀𝑔 𝑖 𝐴 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ↔ ∀𝑔 𝑖 𝐴 ∈ ( Fmla ‘ ∅ ) ) ) |
24 |
21 23
|
mtbiri |
⊢ ( 𝑁 = ∅ → ¬ ∀𝑔 𝑖 𝐴 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) ) |
25 |
24
|
necon2ai |
⊢ ( ∀𝑔 𝑖 𝐴 ∈ ( Fmla ‘ 𝑁 ) → 𝑁 ≠ ∅ ) |